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Lógica proposicional

Una proposición es cualquier enunciado lógico al que se le pueda asignar un valor de verdad (1) o falsedad (0).
Dada una proposición p, se define la negación de p como la proposición p' que es verdadera cuando p es falsa y que es falsa cuando p es verdadera. Se lee "no p".
A partir de una o varias proposiciones elementales se pueden efectuar diversas operaciones lógicas para construir nuevas proposiciones; en este caso, se necesita conocer su valor de verdad o falsedad en función de los valores de las proposiciones de que se componen, lo cual se realiza a través de las tablas de verdad de dichas operaciones. Por ejemplo, la tabla de verdad de la negación es la siguiente:

A continuación se describen las principales operaciones lógicas entre dos proposiciones p,q y sus tablas de verdad:
Conjunción: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q son verdaderas, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p Ù q, y se lee "p y q".

Disyunción: es aquella proposición que es verdadera cuando al menos una de las dos p o q es verdadera, y falsa en caso contrario. Se escribe p Ú q, y se lee "p o q".

Disyunción exclusiva: es aquella proposición que es verdadera cuando una y sólo una de las dos p o q es verdadera, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p Ú q, y se lee "p o q pero no ambas". Se usa muy poco.

Condicional: es aquella proposición que es falsa únicamente cuando la condición suficiente p es verdadera y la condición necesaria q es falsa. Se escribe p Þ q, y se lee "si p entonces q".

Bicondicional: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad, y falsa en caso contrario. Se escribe p Û q, y se lee "si y sólo si p entonces q".

Una proposición se dice que es una tautología si su valor de verdad es siempre 1 independientemente de los valores de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p Ú p'.
Una proposición se dice que es una contradicción si su valor de verdad es siempre 0 independientemente de los valores de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p Ù p'.
Una paradoja es una proposición a la que no se le puede asignar ningún valor de verdad; suelen estar relacionadas con incorrecciones en el lenguaje lógico. Por ejemplo: p="la proposición p es falsa".
Dos proposiciones p y q se dicen equivalentes si tienen la misma tabla de verdad en función de las proposiciones elementales que lo componen; esta definición equivale a decir que la proposición p Û q es una tautología. Por ejemplo, las proposiciones
p Þ q
y
q' Þ p'
son equivalentes. Esta ley se llama "ley del contrarrecíproco", y se usa en los razonamientos por reducción al absurdo. Se pueden obtener fácilmente más "resultados lógicos" a través de su relación con la teoría de conjuntos.

Números naturales : principio de inducción
Admitivos como intuitivo el concepto de número natural; así, podemos enumerar los números naturales en orden creciente:
N = { 1,2,3,4,5, ... }
Cuando se quiere demostrar que una proposición relativa a números naturales es cierta, se necesita el Principio de Inducción:
"Sea S el conjunto de números naturales para los que la proposición p(n) es cierta; supongamos que
m Î S
y que
n Î S Þ n+1 Î S
Entonces S = { m,m+1,m+2, ... }"
(es decir, la propiedad se verifica para todo número natural a partir de m; normalmente se usa con m = 1).
Algunas veces, cuando se quiere demostrar que la proposición es cierta para n+1, es necesario usar que la proposición se verifica para todo k < n+1; en ese caso se utiliza el Principio de Inducción completa:
"Sea S el conjunto de números naturales para los que la proposición p(n) es cierta; supongamos que
m Î S
y que
m,m+1, ... ,n Î S Þ n+1 Î S
Entonces S = { m,m+1,m+2, ... }"
Ejercicio: pruébese por inducción la fórmula del binomio de Newton

(Indicación: utilícense las propiedades de los números combinatorios).

Teoría de Conjuntos
NOCION INTUITIVA DE CONJUNTOUn conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.
Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a Î A. En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota aÏ A.
Ejemplos de conjuntos:
Æ : el conjunto vacío, que carece de elementos.
N: el conjunto de los números naturales.
Z: el conjunto de los números enteros.
Q : el conjunto de los números racionales.
R: el conjunto de los números reales.
C: el conjunto de los números complejos.
Se puede definir un conjunto:
por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.
por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.
Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión, o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:
A := {1,2,3, ... ,n}
B := {pÎ Z p es par}
Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B), y se denota A Í B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a Î A Þ a Î B.
Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A Í B y B Í A; esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica).
Para cualquier conjunto A se verifica que ÆÍ A y A Í A; B Í A es un subconjunto propio de A si A ¹ Æ y B ¹ A.
El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y se denota Ã (A). Entonces, la relación B Í A es equivalente a decir B Î Ã (A). Ejemplos:
Si A = {a,b} entonces Ã (A) = {Æ ,{a},{b},A}.
Si a Î A entonces {a} ÎÃ (A).
Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U, se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSDados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A - B := {a Î A a Ï B}. Asimismo, se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto A D B := (A - B) È (B - A).
Si A Î Ã (U), a la diferencia U - A se le llama complementario de A respecto de U, y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).
Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica:
Æ ' = U .
U ' = Æ .
(A')' = A .
A Í B Û B' Í A' .
Si A = { x Î U p(x) es una proposición verdadera} entonces A' = { x Î U p(x) es una proposición falsa}.
Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B, es decir: A È B := { x x Î A Ú x Î B}.
Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B, es decir: A Ç B := {x x Î A Ù x Î B}.
Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fácil ver que A - B = A Ç B'. En este caso, la llamadas operaciones booleanas (unión e intersección) verifican las siguientes propiedades :
PROPIEDADES
UNION
INTERSECCION
1.- Idempotencia
A È A = A
A Ç A = A
2.- Conmutativa
A È B = B È A
A Ç B = B Ç A
3.- Asociativa
A È ( B È C ) = ( A È B ) È C
A Ç ( B Ç C ) = ( A Ç B ) Ç C
4.- Absorción
A È ( A Ç B ) = A
A Ç ( A È B ) = A
5.- Distributiva
A È ( B Ç C ) = ( A È B ) Ç ( A È C )
A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È ( A Ç C )
6.- Complementariedad
A È A' = U
A Ç A' = Æ
Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unión e intersección tenga una estructura de álgebra de Boole. Además de éstas, se verifican también las siguientes propiedades:
A È Æ = A , A Ç Æ = Æ ( elemento nulo ).
A È U = U , A Ç U = A ( elemento universal ).
( A È B )' = A' Ç B' , ( A Ç B )' = A' È B' ( leyes de Morgan ).
Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de ambos como el conjunto de pares ordenados:
A ´ B := { (a,b) : a Î A Ù b Î B}
Dos pares (a,b) y (c,d) de A ´ B son iguales si a = c y b = d; análogamente, dados cuatro conjuntos A,B,C,D se verifica
A ´ B = C ´ D Û ( A = C Ù B = D )
Se llama grafo relativo a A ´ B a todo subconjunto G Í A ´ B. Dado un grafo G relativo a A ´ B, se llama proyección de G sobre A al conjunto
ProyAG := { a Î A : (a,b) Î G, $ b Î B}
Análogamente se define la proyección ProyBG de G sobre B.
Por último, los conceptos anteriores pueden generalizarse a familias de conjuntos. Si para cada elemento i de un conjunto (de índices ) I se tiene un conjunto Ai , entonces se define el conjunto { Ai : i Î I } y se denomina familia de conjuntos indicada por I. También se suele denotar por { Ai } i Î I . De forma análoga se define una familia de elementos ( ai ) i Î I .
Dada una familia de conjuntos { Ai } i Î I se definen:
È i ÎI Ai := { a : a Î Ai , $ i Î I }
Ç i Î I Ai := { a : a Î Ai , " i Î I }
Õ i Î I Ai := { (ai) : ai Î Ai , " i Î I }
Las propiedades de la unión e intersección siguen siendo válidas para familias de conjuntos, y en particular las leyes de Morgan :
( È i Î I Ai )' = Ç i Î I A'i , (Çi Î I Ai )' = Èi Î I A'iDIAGRAMAS DE VENN
Los conjuntos de suelen representar gráficamente mediante "diagramas de Venn", con una línea que encierra a sus elementos. Así, todas las operaciones entre conjuntos se pueden representar gráficamente con el fin de obtener una idea más intuitiva.
A Í B

A È B

A Ç B

A - B

A D B

RELACION ENTRE LA TEORIA DE CONJUNTOS Y LA LOGICA PROPOSICIONAL
Existe una relación muy estrecha entre la Teoría de Conjuntos y la Lógica Proposicional. Para mostrar dicha relación, denotemos por letras mayúsculas A,B ... los conjuntos y por las correspondientes minúsculas a,b ... sus propiedades características (es decir, la proposición lógica que caracteriza a los elementos de cada conjunto); entonces se tiene la siguiente correspondencia:
conjuntos
A Í B
A = B
A È B
A Ç B
A'
A - B
A D B
proposiciones
a Þ b
a Û b
a Ú b
a Ù b
a'
a Ù b'
a Ú b
Además, el conjunto vacío se corresponde con una contradicción y el conjunto universal con una tautología. Mediante esta correspondencia, todos los resultados sobre conjuntos se pueden reescribir en términos de lógica proposicional y viceversa; a modo de ejemplo:
A È ( A Ç B ) = A
a Ú ( b Ù c ) Û a
A È ( B Ç C ) = ( A È B ) Ç ( A È C )
a Ú ( b Ù c ) Û ( a Ú b ) Ù ( a Ú c )
( A È B )' = A' Ç B'
( a Ú b )' Û a' Ù b'
PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES
Los símbolos " (cuantificador universal) y $ (cuantificador existencial) se utilizan en Matemáticas para enunciar proposiciones logicas relativas a objetos matemáticos.
Sea A un conjunto y p(x) una proposición o propiedad que hace referencia a un elemento x.
(1) Cuantificador universal : La expresión
" x Î A Þ p(x)
se lee "para todo x que pertenece a A se verifica p(x)", representa la proposición
{ x Î A : p(x) } = A
(2) Cuantificador existencial : La expresión
$ x Î A p(x)
se lee "existe x que pertenece a A tal que p(x)", representa la proposición
{ x Î A : p(x) } ¹ Æ

La negación de cualquiera de las dos proposiciones anteriores se realiza negando la proposición p(x) y cambiando el cuantificador universal por el cuantificador existencial, o viceversa.
Así, la negación de la proposición "" x Î A Þ p(x)" es "$ x Î A p(x)' ", mientras que la negación de "$ x Î A p(x)" es "" x Î A Þ p(x)' "

El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i). Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.

Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que . Los números complejos representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales.
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.
Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.

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domingo, 31 de mayo de 2009

Logica y Conjuntos

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martes, 21 de abril de 2009

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